网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，这里详细介绍了几种求最大流的算法。

有 $m$ 次询问，每次询问给定一次操作。操作分为两种：向集合 $A$ 中添加一个物品或从集合 $A$ 中删除一个物品。对于每个物品，有两个属性：

• 物品的类别 $t_i$
• 物品的威力 $p_i$

现在要从集合 $A$ 中选取一个子集 $B$，使得 $B$ 中物品的威力和最大，且 $B$ 满足：

• 对于每个类别 $t_i$，最多选取 $t_i$ 本书；
• 一共最多能够选取 $n$ 本书（题目给定 $n$）。

在每次询问之后，输出最大威力和。

内容包含：

• 巴什博弈
• 威佐夫博弈
• 必胜必败分析
• SG函数，组合博弈游戏
• Nim类型石子游戏
• 相关例题

博弈论，可以定义为两人或多人面对一定的规则约束下，根据所掌握的信息，同时或先后，一次或多次地，从各自允许的行为中选择最优策略，通常要使自身收益最大化。

有 $2n$ 堆石子，编号分别为 $1, 2, \cdots, 2n$。将第 $2k-1$ 和 $2k$ 堆 $(1\leq k\leq n)$，归为同一组。第 $i$ 堆石子的个数是正整数 $s_i$.
定义分割操作：

1. 任取一堆石子，不妨为第 $i$ 堆，将其全移走；
2. 从和第 $i$ 堆同一组的石子中，取出若干正整数个石子，放到第 $i$ 堆的位置上。操作后，两堆石子数都要大于 $0$.

给定状态，问先手是否有必胜策略。
$n\leq 2\times 10^4, 1\leq s_i\leq 2\times 10^9$.

给定数列 $n_1, n_2, \cdots, n_k$，表示有 $k$ 堆物品，第 $i$ 堆物品的数量为 $n_i$。
两人轮流从中取物品，规则：每次可以从一堆中拿走任意正整数个物品。先拿走最后一根的人胜利。
对于给定的数列，判断先手是否必胜，若必胜，输出第一次应该在哪堆取多少物品。